뻘짓) 시계의 분침과 시침이 겹치는 시각과 횟수

뻘글

(Eugene Binary) #1

보이그룹 BEAST의 ‘12시 30분’ 이라는 노래 아시나요.
“우린 마치~~~ 12시 30분의 시곗바늘처러엄~~ 서로 등 돌리고~” 하는 노래인데요.
그런데 12시 30분은 시침과 분침이 완전히 반대가 되진 않읍니다. 여기에 의문을 가진 사람들이 여러가지 버전으로 답을 내놨더라고요. 시계 그려서 기하적으로 근사하기, 12시 32와 8/11분 등등…
좀 쉰 떡밥이긴 하지만 각속도 문제 풀다가 생각나서 저도 이 뻘짓에 동참해 보기로 했읍니다.

시계는 원입니다. 360도의 각을 가집니다. 그리고 그것을 12가지 경계로 나누구요.

먼저 분침이 분당 몇 도(degree/minute)를 움직이나 봅시다. 분침은 시간당 한 바퀴를 돕니다.
한 시간이 60분이고 한 바퀴는 360도이니 360d/60m = 6 d/m 입니다.
분침은 분당 6도를 움직이네요.

시침은 분당 몇도를 움직일까요?
시침은 시간당 12가지 경계 중 다음 경계로 넘어갑니다. (1시 → 2시)
경계 하나가 360d/12 = 30d 이니 30d/h :left_right_arrow: 30d/60m :left_right_arrow: 1d/2m 이네요.
시침은 분당 0.5도를 움직이는군요.

그럼 시침과 분침이 분당 몇도씩 움직이는지 알아냈으니, 그 둘이 겹쳐있을 때를 기준으로 몇 분이 지나야 정 반대가 되는지 구해보겠읍니다.
시침과 분침이 정 반대일 때이니 방정식을 세울 땐 minute를 미지수로 두고 시침이나 분침에 180˚를 더하면 되겠죠?
6˚x = ½˚x + 180˚ :left_right_arrow: x = (360/11) 이 나오네요.
x는 분이었으니 요걸 계산해보면 32분 43초 7/11 이 나오는 걸 알 수 있읍니다.
즉, 12시 정각에 겹쳐있었다면 32분 43초 7/11 후에 정확히 반대가 됩니다.

여기서 한 발짝만 더 나아가서, 시침과 분침이 겹친 시각을 기준으로 몇 분이 더 지나야 다시 겹치게 될까요?
위의 식을 조금만 변형하면 됩니다.
6˚x = ½˚x + 360˚ :left_right_arrow: x = (720/11) :left_right_arrow: x는 65분 27초 3/11

아니? 32분 43초 7/11의 정확히 두 배군요.
반대에서 다시 반대가 될 때까지 걸리는 시간이니 당연한 결과인 것 같읍니다.

마지막으로, 시곗바늘은 하루에 몇 번이나 겹칠까요?
하루는 24시간입니다. 이걸 65분 27초 3/11과 비교가 가능하게 변형시켜 보면,
24h :left_right_arrow: 1,440m :left_right_arrow: 86,400s :left_right_arrow: 950,400/11 이 되네요. 65분~(이하생략)도 저렇게 해보겠읍니다.
65m 27s 3/11 :left_right_arrow: 43,200/11
준비가 끝났읍니다. 오전 12시(00:00)에 두 침이 정확히 겹치고 하루가 새로 시작되는 것을 이용해 식을 세워봅시다.
43,200x/11 = 950,400/11 :left_right_arrow: 43,200x = 950,400 :left_right_arrow: x = 22

시침과 분침은 하루에 스물 두 번 겹치는군요.
그렇다면 완전히 반대가 되는 횟수도 스물 두 번이겠네요.
음. 제가 왜 이런 가소성 없는 짓을 했는진 모르겠지만 하나는 확실합니다.
노래 제목을 ‘12시 32분 43초 7/11’ 로 바꿔야 한다는 거요.

“우린 마치~~~ 열두시 삼십이분 사십삼초와 십일분의 칠처럼~~”


(codesafer) #2

인센~~


(ㄴㅂㄷㄱㄷㄱ) #3

1,2,3,7,11,43 … 모두 소수군요… 여기에는 어떤 음모가 숨어있는 걸까요? 무섭습니다…


(outersky) #4

60주기에서 소수가 나타난다… 최근 어디서 많이 들어 본듯한 내용이네요 ㅋㅋㅋㅋㅋ


(codesafer) #5

쳇쳇


(crmerry) #6

오왕


(ㄴㅂㄷㄱㄷㄱ) #7

이렇게도 풀 수 있어요

12시를 기준으로 분침의 각을 x, 시침의 각을 y 라 하면

x = y + pi
이고

시계한바퀴(2pi)에 대한 x의 비율은 pi/6에 대한 y의 비율과 같으므로
x : 2 pi = y : pi/6

이므로

연립방정식을 풀면
x = 12y 가 나와서
y = pi/11
x = 12pi/11

pi 는 30분이므로 x는 32분 43 + 7/11초

님처럼 일변수로 f(x(t), y(t)) 식세워서 풀수도 있고
이 풀이처럼 다변수 관계식 세워서 연립방정식 풀 수도 잇는듯


(Mocha) #8

와 대단하네요…ㄷ